Witam,
najciekawsze zostawiłem na koniec, gdy dyskusja na temat metod obliczania granic funkcji już przycichnie
.
mzobniow pisze:
Matematyka jest tylko jezykiem, kwintesencja konceptualnej natury umyslu, dlatego jej przekaz jest mocno ograniczony. Tak naprawde, nowoczesna mmatematyka zaczela sie w 19stym wieku. To wtedy poczyniono pierwsze kroki do pelnej formalizacji. Od razu oczywiscie wdepnieto w niezle bagno - okazalo sie ze konceptualizacja wymaga mocnych podstaw - aksjomatow (czyli inaczej mowiac dogmatow), ktore bronia teorie przed sprzecznosciami. Stworzono wiec takie dogmaty (np. "Nie istnieje zbior wszystkich zbiorow"), a niektore dowody przeczace intuicji poprostu zignorowano (np. konstrukcja Banacha o podziale kuli). Niestety nawet to nie uratowalo konceptualizmu. Ostateczny cios zadal mu Goedel dowodzac ze w kazdym odpowiednio zlozonym systemie aksjomatycznym (przynajmniej tak zlozonym jak teoria liczb naturalnych), znajda sie zdania niefalsyfikowalne w tej teori. Tak, matematyka jest przydatna i ciekawa, ale czesto mocno przecenia sie jej wyniki. Trzeba pamietac ze wszytko co od niej dostajemy, mowi nie tyle o naturze rzeczywistosci, ale raczej o naturze naszego konceptualnego umyslu.
Dzięki, że poruszyłeś ten temat.
GreenTea pisze:
Myślę, że rzecz w stanie umysłu matematyka, który widzi w liczbach to, co widzi.
Trafna uwaga.
Chciałbym się nieco odnieść do niektórych wyżej wymienionych kwestii.
mzobniow pisze:Matematyka jest tylko jezykiem, kwintesencja konceptualnej natury umyslu, dlatego jej przekaz jest mocno ograniczony. Trzeba pamietac ze wszytko co od niej dostajemy, mowi nie tyle o naturze rzeczywistosci, ale raczej o naturze naszego konceptualnego umyslu.
Hmm, po pierwsze brzmi to tak jakby istniał jakiś jeden (ogólnie akceptowany w świecie naukowym pogląd na temat tego czym jest matematyka - czy jest tylko językiem, wyrafinowanym opisem, zbiorem abstrakcyjnych modeli i pojęć, czy też jest właśnie rzeczywistością podstawową - samym sednem rzeczywistości. Zdania na ten temat są zdecydowanie podzielone. Nie było (historycznie rzecz biorąc) i nie ma też obecnie na ten temat jednolitej opinii w świecie naukowców czy też w środowisku samych matematyków. Podejście konceptualistyczne, mówiące, że pojęcia matematyczne są tylko tworami ludzkiego umysłu i nie mają realnego bytu jest tylko jednym z możliwych podejść.
Jak już pisałem w tekście rozpoczynającym ten wątek, dla Pitagorejczyków matematyka była rzeczywistością podstawową - ,,wszystko jest liczbą” to pogląd pierwszego okresu Pitagoreizmu. W drugim okresie, wyrazem harmonii w świecie stała się proporcja geometryczna. Poglądy te kontynuowane były w Akademii Platońskiej. Platon uważał, że idee są wzorcami, idealnymi formami rzeczy, czy też, że rzeczy są cieniami, zniekształconymi ideami. Dla Platona tylko świat idei był naprawdę rzeczywisty. Demiurg tworząc świat posługiwał się idealnymi wzorcami geometrycznymi: kształt kulisty, ruch okrężny. Cztery żywioły były reprezentowane przez bryły platońskie: ogień przez czworościan, ziemia przez sześcian, powietrze przez ośmiościan i woda przez dwudziestościan.
I to nie jest wcale tylko jakieś historyczne podejście do matematyki - że to właśnie matematyka jest tą podstawową rzeczywistością z którą mamy do czynienia badając, poznając świat. Taki poglądy pojawiają się też współcześnie. Na przykład u Penrosea czy Hawkinga. Przy czym żeby było śmieszniej
Penrose jest platonikiem a Hawking pozytywistą czy też jak sam siebie określił - bezwstydnym redukcjonistą. Przytoczę cytat z tekstu rozpoczynającego wątek: ,,Sądzę, że kiedy umysł postrzega jakąś matematyczną ideę, wchodzi w kontakt z platońskim światem koncepcji matematycznych. Komunikacja między matematykami jest możliwa, ponieważ każdy z nich posiada bezpośredni dostęp do Prawdy i miał kontakt z tym samym światem wiecznych Idei. Te wieczne prawdy zdają się istnieć cały czas w świecie duchowym.” (Roger Penrose)
Po drugie, powstaje od razu pytanie, to czym w takim razie jest owa ,,prawdziwa rzeczywistość” jeśli matematyka nie mówi o naturze rzeczywistości? Czy samo istnienie tej ,,rzeczywistości" i jej charakterystyki nie są tylko konceptualnym tworem naszych umysłów? Czy wiara w istnienie rzeczywistości ,,poza konceptualnymi pojęciami” nie jest pewną ideą stworzoną przez konceptualne myślenie? Dość znamienne wydaje się w tym kontekście stwierdzenie Stephena Hawkinga:
,,fizyczna teoria jest po prostu matematycznym modelem używanym do opisu wyników obserwacji. Dobra teoria to elegancki model opisujący szeroką klasę obserwacji i pozwalający przewidzieć wyniki nowych doświadczeń. Nie ma natomiast sensu pytać, czy teoria odpowiada rzeczywistości w jakimś innym sensie niż określony powyżej, gdyż bez teorii nie wiemy czym jest rzeczywistość. … Nie można odwołać się do rzeczywistości, ponieważ nie mamy niezależnej od przyjętego modelu koncepcji rzeczywistości. Moim zdaniem, milcząco przyjęta wiara w rzeczywistość niezależną od teoretycznych modeli jest przyczyną trudności, jaką sprawia filozofom mechanika kwantowa i zasada nieoznaczoności. ”
mzobniow pisze: Tak naprawde, nowoczesna mmatematyka zaczela sie w 19stym wieku. To wtedy poczyniono pierwsze kroki do pelnej formalizacji. Od razu oczywiscie wdepnieto w niezle bagno - okazalo sie ze konceptualizacja wymaga mocnych podstaw - aksjomatow (czyli inaczej mowiac dogmatow), ktore bronia teorie przed sprzecznosciami. Stworzono wiec takie dogmaty (np. "Nie istnieje zbior wszystkich zbiorow"), a niektore dowody przeczace intuicji poprostu zignorowano (np. konstrukcja Banacha o podziale kuli). Niestety nawet to nie uratowalo konceptualizmu.
Mówiąc szczerze, termin ,,konceptualizm” w ogóle nie kojarzy mi się ze współczesną matematyką i tak zwanymi podstawami matematyki. Jeśli już, to kojarzy mi się raczej z tak zwanym sporem o uniwersalia - filozoficznym problemem dotyczącym statusu tzw uniwersaliów (pojęć ogólnych). Jeśli chodzi o kwestie aksjomatyzacji matematyki to odpowiednim terminem jest tutaj formalizm - jako nazwa szkoły metodologicznej która przyjęła sobie za program zaksjomatyzowanie poszczególnych gałęzi matematyki zgodnie z tak zwanym programem Pascha to znaczy uczynienia z nich teorii formalnych spełniających 5 warunków: niesprzeczności, zupełności, kategoryczności, rozstrzygalności i niezależności. Problemy o których piszesz wynikały przede wszystkim z jednej rzeczy - fanatycznej wręcz ( i być może naiwnej w pewien sposób) chęci uczynienia matematyki jednością formalną - jedną superteorią opartą na solidnych, niepodważalnych podstawach. Program taki zapoczątkował lider światowej matematyki końca XIX i pierwszej połowy XX wieku David Hilbert a następnie kontynuowali go tak zwani bourbakiści - matematycy działający i publikujący pod pseudonimem Nicolas Bourbaki.
mzobniow pisze:Ostateczny cios zadal mu Goedel dowodzac ze w kazdym odpowiednio zlozonym systemie aksjomatycznym (przynajmniej tak zlozonym jak teoria liczb naturalnych), znajda sie zdania niefalsyfikowalne w tej teori.
No jeśli już to chyba ten ,,ostateczny cios” zadał bardziej laureat medalu Fieldsa Paul Cohen który do twierdzeń o niezupełności i niesprzeczności Goedla dodał jeszcze w latach 60-tych niezależność hipotezy continuum od aksjomatów teorii mnogości czyli nadał jej statut niezależnego aksjomatu dając możliwość tworzenia niezależnych matematyk z hipotezą continuum lub bez.
Tylko czy to był cios zadany konceptualizmowi czy raczej formalizmowi?
A może to w ogóle nie był żaden cios tylko właśnie sukces pokazujący, że alternatywnych światów matematycznych może być wiele, wręcz nieskończenie wiele? Być może był to cios dla tych którzy oczekiwali, że matematyka będzie tylko jedna i to do tego sama orzekająca o swojej niesprzeczności. Moim zdaniem to nie był cios dla matematyki tylko dla ludzkich umysłów. Matematyka po raz kolejny pokazała swoją siłę - pokazała, ze jest znacznie szersza i znacznie bardziej wyrafinowana niż tego by chciały wąsko bo ideologicznie nastawione do niej ludzkie umysły.
mzobniow pisze:Pozatym Leszku, nie podzielam Twojej fascynacji matematyka
Być może fascynują nas inne rzeczy
. To o czym pisałem w tekście rozpoczynającym ten wątek to nawet nie są podstawy matematyki. To są podstawy podstaw - to są korzenie matematyki. Pisałem o harmonii i pustce. Te dwa rodzaje doświadczenia leżą moim zdaniem u podstaw matematyki i stanowią jej duchowe korzenie.
Pozdrawiam
Leszek